Das Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist eine Vektorrechnung der analytischen Geometrie, welche zwei Vektoren einen dritten Vektor zuordnet. Das heißt, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren einen dritten Vektor ergibt, welcher orthogonal – also senkrecht – auf deren aufgespannten Ebene steht. Die drei Vektoren bieten somit ein so genanntes Rechtssystem. Die Länge des Vektors, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, bildet zudem den Flächeninhalt der aufgespannten Ebene ab.

So findet das Kreuzprodukt vor allem in der Elektrotechnik Anwendung: Es kommt hier beispielsweise bei der Berechnung der Corioliskraft zum Einsatz. Doch auch in der Vektorrechnung wird es beim Spatprodukt zur Volumenberechnung geometrischer Körper eingesetzt.

So wird das Kreuzprodukt berechnet

Das Kreuzprodukt – oft auch kartesisches Produkt genannt – wird, wie der Name bereits vermuten lässt, über Kreuz berechnet. Geht man von folgenden Berechnungsbeispiel aus, berechnet es sich wie folgt:
Gegeben seien nun die Vektoren a und b mit den Orskoordinaten ax, ay, az sowie bx, by, bz.

Für deren Kreuzprodukt gilt dann:
a x b = (ax, ay, az) x (bx, by, bz)
x-Richtung: (ay*bz – az*by)
y-Richtung: (az*bx – ax*bz)
z-Richtung: (ax*by – ay*bx)

Mit Zahlenbeispielen:

Vektor a = (1, 2, 4); Vektor b = (2, -3, 4)
a x b = (1, 2, 4) x (2, -3, 4)
x-Richtung: 2*4 -4*(-3) = 20
y-Richtung: 4*2 – 1*4 = 4
z-Richtung: 1*(-3) – 2*2 = -7

Der sich daraus ergebende Vektor c hat nun die Vektorkoordinaten (20, 4, -7)

Eine Anwendung des Kreuzprodukts in der analytischen Geometrie

Die wohl bekannteste Anwendung des Kreuzproduktes in der analytischen Geometrie ist die Berechnung des Spatproduktes dreier Vektoren. Das Spatprodukt beschreibt den Rauminhalt des Spates, welcher von den drei Vektoren aufgespannt wird. Die Besonderheit hierbei ist die Tatsache, dass das Ergebnis als reelle Zahl angegeben wird und negativ, wie auch positiv, sein kann.
Nimmt man an, dass das Spat von den Vektoren a, b und d aufgespannt wird so wird es wie folgt berechnet:

( a x b ) * d = Spatprodukt

Dabei wird aus den Vektoren a und b das Kreuzprodukt gebildet und mit dem sich daraus ergebenden Vektor c und dem dritten Vektor d das Spatprodukt berechnet. Als Ergebnis erhält man eine reelle Zahl, welches das Volumen des aufgespannten Parallelepipdeden abbildet. Auf Grund der Tatsache, dass das Volumen mit zugehöriger Orientierung berechnet wird kann das Spatprodukt auch einen negativen Wert annehmen. Daher wird zur Angabe des tatsächlich korrekten Raumvolumens auch oft der Betrag des Spatproduktes verwendet.

Hinterlasse eine Antwort

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind markiert *

Du kannst folgende HTML-Tags benutzen: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>